怎么用这个模拟器
1. 先看「收敛」到底长什么样
保持默认参数（6 面、10000 次、3 条轨迹）点一下「重新运行」。你会看到三条线在左侧剧烈摆动，然后逐渐收拢到 1/6 ≈ 16.667% 附近。
把试验次数拉到 200000，收拢会更紧。这就是大数定律：频率依概率收敛到概率。
注意这里收敛的是什么
收敛的是频率（比例），不是次数差。
如果某一面在前 1000 次里少出现了 20 次，大数定律不保证后面会多出现 20 次把它补回来。它保证的是：分母越来越大，这 20 次的相对影响越来越小，最终稀释到看不见。
2. 再看「随机的样子」有多不整齐
把面数换成 49，次数保持 10000。看第二张图：49 根柱子高低不齐——用默认种子 20260829 时，最多的一面出现 237 次，最少的只有 169 次，而理论期望是 204.1 次。最高比最低多了整整四成。
这不是装置有问题——数据就是用均匀随机算法生成的，真值百分之百均匀。这就是随机本来的样子。（此时卡方检验给出 p = 0.264，完全正常。）把「看起来不齐」当成「有规律」，正是《冷热号的统计学真相》讲的那件事。
3. 用 p 值给「看起来不齐」定量
第四块数字是卡方检验的 p 值。它回答的是：假如装置真的均匀，出现这么不齐（或更不齐）的结果，概率有多大？
反复点「换一个种子」，你会看到 p 值在 0 到 1 之间大致均匀地跳动。这是对的——原假设成立时，p 值本来就服从均匀分布。
多点几次，迟早会撞上一个 p < 0.05。平均每 20 次会遇到 1 次。此时模拟器会明确标注这是假阳性，因为我们百分之百确定数据来自均匀分布。
这个按钮是一个陷阱，请意识到它
「换一个种子」这个按钮，让你可以一直换到出现 p < 0.05 为止，然后截图说「看，检验显示不均匀」。
这在统计学里叫 p-hacking，是学术不端行为，也是各种「数据分析发现规律」类内容最常见的手法。
防住它的唯一办法是：在看数据之前就把参数和判据全部写死，只跑一次。这也是为什么本站每张图的种子都印在图注里——你可以核对我有没有换过。
关于自由度的一个说明
本工具用的自由度是 M − 1。
这是标准做法，在这里也是对的，因为每次试验只产生一个结果（转一次只出一个面）。
但如果每期同时抽出 k 个不同的号码（比如 49 选 6），情况就变了——各号码的计数之间存在额外约束，正确的自由度是 M − k 而不是 M − 1。用错会把名义 5% 的检验实际做成 1.23%，也就是严重缺乏敏感度。
推导与蒙特卡洛验证见《随机性检验：卡方统计量与 p 值》第五节。本工具的 k = 1，此时 M − k = M − 1，两种取法恰好一致。
复现方法
随机数生成器是 mulberry32，一个 32 位状态的确定性算法：
a = a + 0x6D2B79F5；t = a ⊕ (a >>> 15) 与 1|a 相乘；t = t + ((t ⊕ (t >>> 7)) × (61|t)) ⊕ t；输出 (t ⊕ (t >>> 14)) / 2³²
完整实现见本站 assets/js/charts.js 中的 XA.mulberry32。
它不是密码学安全的随机数生成器，也不适合任何需要不可预测性的场合。选它是因为实现短、跨平台结果一致、便于教学复现。
第 i 条轨迹用的种子是 种子 + i − 1。第二张图与所有统计量只使用第 1 条轨迹。
这个工具不能做什么
| 问题 | 本工具 |
|---|---|
| 展示频率如何收敛到概率 | 可以，这是它的主要用途 |
| 展示随机数据看起来有多「不随机」 | 可以 |
| 演示卡方检验与 p 值的行为 | 可以 |
| 演示 p-hacking 为什么危险 | 可以，「换一个种子」按钮就是 |
| 检验某台真实装置是否公平 | 不能。本工具只处理自己生成的模拟数据 |
| 预测下一次出哪一面 | 不能，而且任何工具都不能 |
最后一行需要强调：即便你在这里看到某一面「明显偏多」，也不能据此推断它下一次更容易出现。数据是均匀生成的，偏多纯属波动；而就算换成一台真有偏差的装置，你能推断的也只是「长期频率略高」，不是「下一次会是它」。这两件事的区别，是《预测的不可能性》全文在讲的。